Как делить числа под знаком корня

§ Квадратный корень из произведения, дроби и степени.

как делить числа под знаком корня

Бывает ещё круче, когда корень из смешанного числа надо извлечь! . Если под знаком корня - минус, дальше можно не решать. Эта формула позволяет нам умножать корни. Запомним (вдруг, не знали?): если число под знаком корня больше, то и сам корень. Объяснение с примерами и правилами как делить квадратные корни. - Zaochnik. выражением (или числом) является выражением под знаком корня.

Вспомним, что все формулы работают как слева направо, так и справа налево. Мы пока формулу умножения корней слева направо употребляли.

как делить числа под знаком корня

Давайте запустим это свойство корней наоборот, справа налево. Разве это что-то даёт!? Предположим, нам нужно извлечь без калькулятора! Кое-кто на этом этапе и падёт в неравной борьбе с задачей Но мы упорные, мы не сдаёмся! Как извлекать корни из больших чисел? Вспоминаем формулу извлечения корней из произведения.

как делить числа под знаком корня

Ту, что я чуть выше написал. Но где у нас произведение!? У нас огромное число и всё Да, произведения здесь. Но если нам надо - мы его сделаем! Разложим это число на множители. Для начала сообразим, на что делится это число ровно? Идите в Особый разделтема "Дроби"там они. На 3 и на 9 делится это число. Это один из признаков делимости.

Как делить квадратные корни

На три нам делить ни к чему сейчас поймёте, почемуа вот на 9 поделим. Хотя бы и уголком. Вот мы и нашли два множителя! Первый - девятка это мы сами выбралиа второй - такой уж получился. С числом поступим аналогично. Оно тоже делится на 3 и 9. На 3 опять не делим, делим на 9. А это число мы знаем! Всё получилось легко и элегантно! Корень пришлось по кусочкам извлекать, ну и ладно. Так можно поступать с любыми большими числами. Раскладывать их на множители, и - вперёд!

Кстати, а почему на 3 делить не надо было, догадались?

Деление корней. Корень из квадрата. Корень в квадрате. Примеры.

Да потому, что корень из трёх ровно не извлекается! Имеет смысл раскладывать на такие множители, чтобы хотя бы из одного корень хорошо извлекался. Это 4, 9, 16 ну, и так далее. Делите своё громадное число на эти числа поочерёдно, глядишь, и повезёт!

Может и не повезти. Скажем, число при разложении на множители и использовании формулы корней для произведения даст такой результат: Всё равно мы упростили выражение. В математике принято оставлять под корнем самое маленькое число из возможных. Как видим, корень исчезает, Степень результата в два раза меньше исходной степени.

Если степень нечётная - разложим исходное выражение на множители, и все дела: Так поступаем с любой степенью корня из любого выражения, и всё у нас посчитается, упростится и получится. Корень в квадрате - штука бесхитростная. Разберёмся теперь с корнем из квадрата. Как извлечь корень из квадрата? Пусть у нас есть хорошее число 2. Возведём его в квадрат. А теперь давайте обратно, извлечём из результата квадратный корень: Опять всё чудесно, правда?

как делить числа под знаком корня

С чего начали, к тому и вернулись! Стало быть, можно записать: Оно и естественно, правда? Возведение в квадрат компенсируется обратной операцией - извлечением квадратного корня. В общем виде формула выглядит вот так: Во всех учебниках, справочниках и пособиях рядом с такой формулой всегда пишут: В этих словах, которые многие просто пропускают, и кроются главные сложности корней.

Потому, что в примерах а частенько бывает отрицательным! Пока и мы будем считать, что а - неотрицательное. А вот как встретите на этой странице мрачного зайца - вот там и начнётся настоящая работа! Корень из квадрата извлекается.

как делить числа под знаком корня

А если у нас подкоренное выражение не в квадрате, а в другой степени? Приведём нашу степень к квадрату. Теперь по формуле корня из квадрата: Корень из любой чётной степени даст в результате подкоренное выражение в степени, в два раза меньше исходной. Ну, и так далее. А если степень нечётная?

Алгебра 8 класс. Квадратный корень #12. Корни и целые числа.

Раскладываем подкоренное выражение на множители - и вперёд! Используем вынесение множителя из-под корня. Но до сего момента мы работали только с неотрицательными числами и выражениями.

Как только в игру вступают отрицательные величины, простота куда-то пропадает начисто Вернём эту простоту и ясное понимание.

Вот тут и будет мрачный заяц. Концентрируем внимание и собираем весь интеллект в кулак! Итак, откуда в корнях могут появиться отрицательные числа и выражения? Отрицательные значения даны прямо в задании. Вспоминаем пример корня из квадрата двойки: Здесь всё понятно и.

А теперь попробуем вычислить: Берём, и просто считаем, безо всяких формул: Так как арифметический квадратный корень а в школе мы работаем только с такими! А если бы мы использовали формулу: Не работает эта формула для отрицательных значений. Для того, чтобы формула корня из квадрата работала для всех значений а, она записывается вот так: Это и есть последнее, третье свойство корней. Третья ножка для табурета. Здесь появляется страшный значок для старшеклассников.

Если вы пока не сильны в раскрытии модулей, не волнуйтесь. Здесь он означает лишь то, что при любом знаке а, результат извлечения корня из квадрата будет всегда неотрицательный.

Квадратный корень. Начальный уровень.

Модуль просто отсекает минусы: Отрицательные значения спрятаны в буквах и дополнительных условиях. Например, требуется упростить выражение: Казалось бы, ответ прост. Вы ведь тоже ещё не вкурили? Урок получился довольно большим, поэтому я разделил его на две части: Сначала мы разберём правила умножения. Кэп как бы намекает: Затем разберём обратную ситуацию: С какого перепугу это бывает нужно — вопрос отдельный.

Мы разберём лишь алгоритм. Тем, кому не терпится сразу перейти ко второй части — милости прошу. С остальными начнём по порядку. Основное правило умножения Начнём с самого простого — классических квадратных корней. Для них всё вообще очевидно: Чтобы умножить один квадратный корень на другой, нужно просто перемножить их подкоренные выражения, а результат записать под общим радикалом: Рассмотрим сразу четыре примера с числами: И если в первом примере мы бы и сами извлекли корни из 25 и 4 без всяких новых правил, то дальше начинается жесть: Отдельно хотел бы отметить последнюю строчку.

Там оба подкоренных выражения представляют собой дроби. Благодаря произведению многие множители сокращаются, а всё выражение превращается в адекватное число. Конечно, не всегда всё будет так красиво.

Иногда под корнями будет стоять полная лажа — непонятно, что с ней делать и как преобразовывать после умножения. Чуть позже, когда начнёте изучать иррациональные уравнения и неравенства, там вообще будут всякие переменные и функции. И очень часто составители задач как раз и рассчитывают на то, что вы обнаружите какие-то сокращающиеся слагаемые или множители, после чего задача многократно упростится.

Кроме того, совсем необязательно перемножать именно два корня. Можно умножить сразу три, четыре — да хоть десять! Правило от этого не поменяется. Как видите, в третьем множителе под корнем стоит десятичная дробь — в процессе вычислений мы заменяем её обычной, после чего всё легко сокращается. В будущем это сэкономит вам кучу времени и нервов. Но это было лирическое отступление. Случай произвольного показателя Итак, с квадратными корнями разобрались.

как делить числа под знаком корня